[MZPTLK]

Die Mathematik ist, wenn sie konsistent betrieben wird, widerspruchsfrei.

Das ist ein Glaubenssatz, aber leider nicht beweisbar. Ich empfehle folgende Lektüre: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. in: Monatshefte für Mathematik und Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 38.1931, S. 173–198.

Stimmt. Ausserdem ist der Satz partiell tautologisch/selbstreferenziell.
ABER: ich habe bewusst konsistent gesagt, weil das auch empirische Beständigkeit, Haltbarkeit meint.
Will sagen: Das empirische Untersuchungsobjekt und die (angewandte) Mathematik müssen zueinander 'passen', dann ist Konsistenz möglich.
Aber in der Kosmologie scheitert(e) das sehr oft am unzureichenden oder missinterpretierten empirischen Input.
Z.B. kommt man dem vermuteten Urknall empirisch nicht nahe, nur mathematisch. Und schon bekommt man empirische Probleme und Widersprüche...

Die hier und da bestehende formal-logische Unentscheidbarkeit in der 'reinen' Mathematik
macht mathematische Ableitungen, Extrapolationen und Modelle nicht grundsätzlich obsolet.
Auch wenn der Philosoph Otfried Höffe sagt: 'Mit Mathematik kann man die Welt nicht erklären'.
So zugespitzt ist das wohl richtig, aber die Mathematik kann bei der Welterklärung viel helfen.

Aber was bedeutet es eigentlich, wenn man beweisen zu können meint, dass etwas nicht beweisbar ist